【題目】如圖，四棱錐中，垂直平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ） 證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見證明 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）可證 平面，從而得到平面平面．

（Ⅱ）在平面內(nèi)過作的垂線，垂足為，由（1）可知平面，從而就是所求的線面角，利用解直角三角形可得其正弦值．

（Ⅰ）證明: 平面，平面， 故．

又，所以． 故，即 ，而，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（Ⅱ）平面，平面， 故．又，所以．

在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為．

由（Ⅰ）知平面平面， 平面，平面平面 所以平面．

由面積法得：即．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，．所以．

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等．

連結(jié)交于點(diǎn)，則．

所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，即．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

另解：如圖，取的中點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>，所以．所以有：

，，，，，

．

．，．

設(shè)平面的一個法量為，則

取，得 ，．即．

設(shè)直線與平面所成角為，則

．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相切，圓心在軸上，且直線被圓截得的弦長為．

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)作斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率乘積為，且，求的值．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．

（1）求圓的方程；

（2）若圓與直線交于，兩點(diǎn)，且，求的值．

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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段的長；

（2）若向量與向量互相垂直（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.

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【題目】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>D，的最大值等于8.

（1）求的值；

（2）求的取值范圍；

（3）若直線過點(diǎn)P(-3,3)，求區(qū)域D在直線上的投影的長度的取值范圍.

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【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且恰是的中點(diǎn)，若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點(diǎn)點(diǎn)N在線段AD上.

（1）點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時，求證：直線PA∥面BMN；

（2）若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若平面 平面，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】運(yùn)輸公司年有萬輛公交車，計劃年投入輛新型號公交車，以后每年投入的新型號公交車數(shù)量均比上年增加.

（1）年應(yīng)投入多少輛新型號公交車？

（2）從年到年間共投入多少輛新型號公交車？

（3）從哪一年開始，該公司新型號公交車總量超過該公司公交車總量的？

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