Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₂作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，交雙曲線于點(diǎn)M且

F2M

=2

MH

，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知F₂H的斜率，設(shè)出H的坐標(biāo)代入漸近線方程求得x的表達(dá)式，則H的坐標(biāo)可知，進(jìn)而求得M的表達(dá)式，代入雙曲線方程整理求得a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率．

解答： 解：設(shè)F₂（c，0）相應(yīng)的漸近線：y=

b

a

x，
則根據(jù)直線F₂H的斜率為-

a

b

，設(shè)H（x，

b

a

x），
將y=-

a

b

（x-c）代入雙曲線漸近線方程求出x=

a2

c

，
則H（

a2

c

，

ab

c

），
由

F2M

=2

MH

，可得M（

c+2• a2 c

1+2

，

2• ab c

1+2

），
即有M（

c2+2a2

3c

，

2ab

3c

），
把M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，
即

(c2+2a2)2

9c2a2

-

4a2

9c2

=1，整理可得c=

5

a，
即離心率e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過分析題設(shè)中的信息，找到雙曲線方程中a和c的關(guān)系．