Question

素材1：橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：6x-5y-28=0與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，B為短軸上的端點(diǎn)，且短軸長為整數(shù);

素材2：△MBN的重心恰為橢圓的右焦點(diǎn)F.試根據(jù)上述素材構(gòu)建一個(gè)問題，然后再解答.

Answer 1

構(gòu)建問題：直線l:6x-5y-28=0與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，且短軸長為整數(shù).若△MBN的重心是橢圓的右焦點(diǎn)F，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上,求滿足上述條件的橢圓方程?

解析：如下圖.

設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),M、N、B的坐標(biāo)分別為M（x₁,y₁）、N(x₂、y₂)、B（0,b），則b²x₁²+a²y₁²=a²b²,b²x₂²+a²y₂²=a²b².

兩式相減得.            ①

由=c, =0,得

x₁+x₂=3c,y₁+y₂=-b,代入①得

2b²-5bc+2c²=02b=c或b=2c.                   ②

M、N在直線l上得6(x₁+x₂)-5(y₁+y₂)=56,

∴18c+5b=56.③

由②③解得(∵2b∈Z)b=4,c=2,a²=20.

∴橢圓方程為=1.