Question

17．若函數(shù)f（x）是定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I上的增函數(shù)，且$F（x）=\frac{f（x）}{x}$在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“單反減函數(shù)”，已知$f（x）=lnx，g（x）=2x+\frac{2}{x}+alnx（a∈R）$（1）判斷f（x）在（0，1]上不是（填是或不是）“單反減函數(shù)”；  （2）若g（x）是[1，+∞）上的“單反減函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4]．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“單反減函數(shù)”的定義判斷即可；
（2）由題意可得g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{alnx}{x}$在[1，+∞）上是減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
∵F′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上不是“單反減函數(shù)”；
（2）∵g（x）=2x+$\frac{2}{x}$+alnx，
∴g′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax-2}{{x}^{2}}$，
∵g（x）是[1，+∞）上的“單反減函數(shù)”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{alnx}{x}$在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-$\frac{4}{{x}^{3}}$+$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，
則p′（x）=-alnx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{P（1）≤0}\end{array}\right.$解得0≤a≤4，
綜上所述a的取值范圍為[0，4]，
故答案為：不是，[0，4]

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決新問(wèn)題的能力，屬于中檔題．