在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點，則點P在直線AB上的充要條件是：存在實數(shù)x，y滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個正確命題是什么？
分析：將命題從平面類比到空間：直線類比到平面、三點共線類比到四點共面、未知數(shù)從2個類比到3個．由此得到命題：0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．再利用向量共線定理加以正反論證，可得本題答案．
解答：解：由平面內(nèi)的定理，類比到空間可得：
0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x、y、z，
滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．該命題是一個真命題，證明如下：
①當(dāng)實數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
且x+y+z=1時，
（x+y+z）
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，化簡得x
AP
=y
PB
+z
CP

∴向量
AP
、
PB
、
CP
共面的向量，可得點P在平面ABC上，故充分性成立；
②當(dāng)點P在平面ABC上時，存在實數(shù)λ、μ，使
PA
=λ
PB
+μ
PC
，
即
OA
-
OP
=λ（
OB
-
OP
）+μ（
OC
-
OP
），化簡得
OP
=-
1
λ+μ-1
OA
+
λ
λ+μ-1
OB
+
μ
λ+μ-1
OC
，
因此，存在x=-
1
λ+μ-1
、y=
λ
λ+μ-1
、z=
μ
λ+μ-1
，
滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．故必要性成立．
∴將題中的命題類比到空間，可得在空間中相應(yīng)的一個正確命題為：0為平面ABC外的一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x、y、z，滿足
OP
=x•
OA
+y•
OB
+z
OC
，且x+y+z=1．
點評：本題將平面內(nèi)的三點共線的一個命題類比到空間，并加以證明，著重考查了類比推理的一般方法和平面向量的基本定理及其意義等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．其中正確命題的序號是
①③
（填上所有正確命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點，則點P在直線AB上的充要條件是：存在實數(shù)x，y滿足
op
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個正確命題是
O為平面ABC外一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x，y，z滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1．
O為平面ABC外一點，則點P在平面ABC上的充要條件是：存在實數(shù)x，y，z滿足
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
且x+y+z=1．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：永州一模 題型：填空題

四面體ABCD中，有如下命題：
①若AC⊥BD，AB⊥CD則AD⊥BC；
②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大�。�
③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四個面是全等的三角形，則四面體ABCD是正四面體．
其中正確命題的序號是______（填上所有正確命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在平面上有如下命題“0為直線AB外的一點，則點P在直線AB上的充要條件是：存在實數(shù)x，y滿足
op
=x•
OA
+y•
OB
，且x+y=1”，類比此命題，給出在空間中相應(yīng)的一個正確命題是______．

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