Question

如圖，邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△ADE，△DCF，△EBF分別沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A，過A做AO⊥平面EFD于點(diǎn)O．

（1）證明：點(diǎn)O是△EFD的重心；
（2）求二面角A-EF-D的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)已知條件，作EF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，AG，由于AE=AF，所以得到AG⊥EF
過A做AO⊥平面EFD于點(diǎn)O，進(jìn)一步證得：EF⊥平面AGD，又由于AF⊥平面AED，所以AF⊥DE，同理：EO⊥DF，即點(diǎn)O是△EFD的垂心．
（2）首先說明∠AGD即為二面角A-EF-D的平面角，進(jìn)一步解得：AE=AF=4，EF=4

2

，AG=2

2

，DG=8

2

-2

2

=6

2

，AD=8所，在△AGD中利用余弦定理：cos∠AGD=

AG2+GD2-AD2

2AG•GD

=

1

3

，最后轉(zhuǎn)化成正切值．

解答： 證明：（1）邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△ADE，△DCF，△EBF分別沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A，
作EF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，AG，
由于AE=AF，
∴AG⊥EF，
∵過A做AO⊥平面EFD于點(diǎn)O，
∴EF⊥平面AGD，
又∵AF⊥平面AED，
∴AF⊥DE；
又∵AO⊥DE，
∴DE⊥平面AFO；
同理：EO⊥DF，
即點(diǎn)O是△EFD的垂心．
解：（2）由已知條件和（1）的部分結(jié)論∠AGD即為二面角A-EF-D的平面角，
根據(jù)正方形的邊長8，
進(jìn)一步解得：AE=AF=4，EF=4

2

，AG=2

2

，DG=8

2

-2

2

=6

2

，AD=8，
所以：在△AGD中，
利用余弦定理：
cos∠AGD=

AG2+GD2-AD2

2AG•GD

=

1

3

，
所以tan∠AGD=2

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：折疊問題的應(yīng)用，線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，二面角平面角的做法，余弦定理得應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題型．