Question

已知函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性（須有證明過程）；
（3）求f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性（須有證明過程）．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，∴1+a=2，解得 a=1．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）==-（）=-f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）設(shè) 0＜x₁＜x₂＜1，由于
f（x₁ ）-f（x₂）=-（）=（x₁-x₂）+（）=（x₁-x₂） （1-），
由 0＜x₁＜x₂＜1可得 x₁-x₂＜0，（1-）＜0，故有f（x₁ ）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
同理可得f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)，可得 1+a=2，解得 a 的值．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）設(shè) 0＜x₁＜x₂＜1，化簡(jiǎn)f（x₁ ）-f（x₂）的解析式，可得f（x₁ ）-f（x₂）＞0，故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，同理可證f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，求函數(shù)的值，屬于中檔題．