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如圖,平面上兩條直線AB與AP互相垂直,AB=1,AP=3,D在直線AB上,AD=4,平面上動點M在直線AB上的射影為點N,滿足DM=2BN.

(1)求動點M的軌跡C的方程;

(2)若直線y=kx+M(k≠0,M≠0)與點M的軌跡C交于不同的兩點E、F,且E、F都在以P為圓心的圓上,求實數M的取值范圍.

解：(1)以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(1，0)，D(4，0)，P(0，3)，?

設M(x,y),則N(x,0),                                                                                                 ?

由|DM|=2|BN|，得=2|x-1|,?

整理得點M的軌跡方程為=1.                                                                    ?

(2)設E(x1,y1),F(x2,y2),?

由消去y整理得(3-k2)x2-2kMx-(M2+12)=0.?

依題意得(*)                                                    ?

設EF的中點為G(x0,y0),則x0==.?

∵點G在直線y=kx+M上,∴y0=kx0+M=.?

∴G(,).                                                                                             ?

∵E、F兩點都在以P(0,3)為圓心的同一圓上，?

∴GP⊥EF，即kGP·k=-1.?

∴·k=-1,整理得k2=.                                                            ?

代入(*)式得?

解得M＞0或M＜-.                                                                                                  ?

又k2=＞0，∴M＜.?

故所求M的取值范圍是(-∞,-)∪(0,).      

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

10、如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若p、q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負實數對（p，q）是點M的“距離坐標”．已知常數p≥0，q≥0，給出下列命題：
①若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且僅有1個；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有2個；
③若pq≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若p、q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負實數對（p，q）是點M的“距離坐標”．已知常數p≥0，q≥0，給出下列命題①若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且僅有1個；
②若p=0，q=1，則“距離坐標”為（0，1）的點有且僅有2個；
③若p=1，q=2，則“距離坐標”為（1，2）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若x，y分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負實數對（x，y）是點M的“距離坐標”．已知常數p≥0，q≥0，給出下列三個命題：
①若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且只有1個；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q） 的點有且只有2個；
③若pq≠0則“距離坐標”為 （p，q） 的點有且只有4個．
上述命題中，正確命題的是
①②③
①②③
．（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖,平面上兩條直線AB與AP互相垂直,AB=1,AP=3,D在直線AB上,AD=4,平面上動點M在直線AB上的射影為點N,滿足DM=2BN.

(1)求動點M的軌跡C的方程;

(2)若直線y=kx+M(k≠0,M≠0)與點M的軌跡C交于不同的兩點E、F,且E、F都在以P為圓心的圓上,求實數M的取值范圍.

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