Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作一條斜率大于0的直線l與拋物線交于A、B兩點，若在拋物線的準線上存在點P，使△PAB是等邊三角形，則直線l的斜率等于

2

2

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為y=k（x-

p

2

），根據(jù)拋物線的定義結合直線l方程，可將AB中點Q坐標化成（

1

2

（|AB|-p），

k

2

|AB|-kp），再用直線AB的中垂線方程和準線方程聯(lián)解，得P的坐標為（-

p

2

，

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp），最后利用兩點的距離公式列式結合|PQ|=

3

2

|AB|，解之即可得到直線l的斜率k的值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為y=k（x-

p

2

），AB中點為Q（

1

2

（x₁+x₂），

1

2

（y₁+y₂））
∵AB是拋物線經過焦點的弦，∴x₁+x₂+p=|AB|，
代入直線方程，可得y₁+y₂=k（x₁-

p

2

）+k（x₂-

p

2

）=k|AB|-2kp，
因此可得Q（

1

2

（|AB|-p），

k

2

|AB|-kp）
∵PQ是等邊三角形的中線，也是它的高
∴PQ的方程為：y-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[x-

1

2

（x₁+x₂）]，
設P（-

p

2

，t），代入得：t-

1

2

（y₁+y₂）=-

1

k

[-

p

2

-

1

2

（x₁+x₂）]=

1

2k

（x₁+x₂+p），
∴t=

1

2

（y₁+y₂）+

1

2k

（x₁+x₂+p）=

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp，
得P（-

p

2

，

k

2

|AB|+

1

2k

|AB|-kp），
∴|PQ|=

[- p 2 - 1 2 (|AB|-p)]2+[( k 2 |AB|+ 1 2k |AB|-kp)-( k 2 |AB|-kp)]2

=

1

2

1+ 1 k2

|AB|
又PQ=

3

2

|AB|，即

1

2

1+ 1 k2

|AB|=

3

2

|AB|，可得k²=

1

2

∵直線l的斜率k大于0，∴k=

2

2

故答案為：

2

2

點評：本題給出拋物線的準線上存在一點與拋物線的焦點弦構成正三角形，求弦的斜率，著重考查了拋物線的簡單幾何性質和直線與拋物線的關系等知識，屬于中檔題．