已知函數(shù)f（x）=
1
x
+alnx（a為參數(shù)）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）由f′（x）=
ax-1
x2
，定義域?yàn)椋?，+∞），得當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=
x-1
x2
，令f′（x）=0得x=1，從而求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）f′（x）=
ax-1
x2
，分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)x=
1
a
＞0，即a＞0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的最小值．
解答： 解：（1）f′（x）=
ax-1
x2
，定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=
x-1
x2
，令f′（x）=0得x=1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）f′（x）=
ax-1
x2
，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（e）=
1
e
+a，
②當(dāng)x=
1
a
＞0，即a＞0時(shí)，
令f′（x）=0，解得：x=
1
a
，
（�。┤鬳≤
1
a
，即a≤
1
e
時(shí)，則f′（x）≤0對(duì)x∈（0，e）成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（e）=
1
e
+a，
（ⅱ）若0＜
1
a
＜e，即a＞
1
e
時(shí)，f（x）在（0，
1
a
）單調(diào)遞減，在（
1
a
，e）單調(diào)遞增，在x=
1
a
處有極小值．
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（
1
a
）=a+aln
1
a
，
綜上，得f（x）min=
f(e)=
1
e
+a，     (a≤
1
e
)
f(
1
a
)=a+aln
1
a
，(a＞
1
e
)
．
點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=xn+xn-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，x∈（0，1]時(shí)，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范圍；
（2）試證函數(shù)f（x）在（
1
2
，1）內(nèi)存在零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量
m
=（cosBcosC，sinBsinC-
3
2
），
n
=（-1，1）且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，B=45°，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-a，g（x）=a-
1
x
（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，4]的單調(diào)性并用定義證明；
（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在區(qū)間x∈[1，4]的最大值的表達(dá)式M（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

第22屆索契冬奧會(huì)期間，來(lái)自俄羅斯國(guó)際奧林匹克大學(xué)的男、女大學(xué)生共9名志愿者被隨機(jī)地平均分配到速滑、冰壺、自由式滑雪這三個(gè)崗位服務(wù)，且速滑崗位至少有一名女大學(xué)生志愿者的概率是
16
21

（Ⅰ）求冰壺崗位至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量X為在自由式滑雪崗位服務(wù)的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，求X的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)實(shí)數(shù)a≥0時(shí)，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=24，求：
（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sinα=-
5
5
，tanβ=-
1
3
，且α、β∈（-
π
2
，0）．
（1）求tan2β的值
（2）求tan（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對(duì)任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱(chēng)f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”．下列命題正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①函數(shù)f（x）=x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ=1；
②函數(shù)f（x）=e-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）；
③若函數(shù)f（x）是可導(dǎo)倍增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）也是倍增函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則f（x）也是周期函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=
kπ
2
（k∈N*）．

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