試題分析:(1)根據(jù)對任意的正實數(shù)x,y都有均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1),令x=1,y=1,即可求出f(2)的值;
(2)由于函數(shù)沒有具體解析式,要證其在(1,+∞)上為增函數(shù),只能從條件;②對任意的x>2均有f(x)>0和條件③對任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)入手,取
代入條件③,整理變形后借助于條件②可證出結(jié)論.
(3)令x=2,y=2,代入求得f(5),令x=2,y=4,代入求得f(9),
又
,可得
,根據(jù)條件②判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)已知條件把f(cos2θ+asinθ)<3化為cos2θ+asinθ<
或1<cos2θ+asinθ<9,對任意的θ∈(0,π)恒成立,換元和分離參數(shù)即可求得a的范圍..
1)令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X
1>1,X
2>1,X
2>X
1,則有
從而
,
即
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增……………(8分)
3)因為f(x)為奇函數(shù),且在(1,+∞)上單調(diào)遞增,令X=Y=2,得f(5)=f(3)+f(3)=2,再令X=2,Y=4,得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由
因為f(x)為奇函數(shù),所以
,于是f(x)<3的解集為;
(-∞,-
)∪(1,9),于是問題轉(zhuǎn)化為是否存在實數(shù)a,使
對任意的θ∈(0,π)恒成立,令sinθ=t,則t∈(0,1]于是
恒成立等價于
恒成立.即
恒成立,當t→0時,
,故不存在實數(shù)a使
對任意的
θ∈(0,π)恒成立.
1<cos
2θ+asinθ<9恒成立等價于
恒成立,得a>1,
t
2-at+8>0,t∈(0,1]等價于
,
在(0,1]單調(diào)遞減,于是g(t)
min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos
2θ+asinθ<9 對任意的θ∈(0,π)恒成立.
綜上知,存在實數(shù)a∈(1,9),使得
對任意的θ∈(0,π)恒成立.……………………(14分).
點評:此題是個難題,考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域.解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法.特別是問題(3)的設(shè)問形式,增加了題目的難度,綜合性強.