Question

已知函數(shù)f（x）=2cos

ωx+φ

2

（sin

ωx+φ

2

+cos

ωx+φ

2

 ）-1（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）的圖象上的兩條相鄰對稱軸的距離是

π

2

．
（Ⅰ）求φ，ω的值；
（2）令g（x）=f（

π

6

-x），求函數(shù)g（x）在[0，

π

2

]是的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡函數(shù)f（x）=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），然后結(jié)合，f（x）為奇函數(shù)，得到φ+

π

4

=kπ，k∈Z，再結(jié)合0＜φ＜π，得到φ=

π

4

，再結(jié)合

2π

ω

=2×

π

2

=π，得到ω=2；
（2）直接根據(jù)自變量的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解其值域即可．

解答： 解：（1）f（x）=2cos

ωx+φ

2

（sin

ωx+φ

2

+cos

ωx+φ

2

 ）-1
=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=

2

sin（ωx+φ+

π

4

），
∵f（x）為奇函數(shù)，∴φ+

π

4

=kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

，
∵

2π

ω

=2×

π

2

=π，
∴ω=2，
（2）結(jié)合（1），得f（x）=-

2

sin2x，
g（x）=f（

π

6

-x）=-

2

sin（

π

3

-2x）=

2

sin（2x-

π

3

）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴g（x）∈[-

6

2

，

2

]．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、輔助角公式等知識，屬于中檔題．