6.設(shè)橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,$\sqrt{3}$),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率e=$\frac{1}{2}$,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)橢圓的頂點(diǎn)為(0,$\sqrt{3}$),即b=$\sqrt{3}$,橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,a=2,即可求得橢圓C的方程;
(2)由題意可知:當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線l為y=k(x-1),代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2,代入即可求得k的值,求得直線l的方程.

解答 解:(1)橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的頂點(diǎn)為(0,$\sqrt{3}$),即b=$\sqrt{3}$,
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,解得:a=2,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;--------(4分)
(2)由題可知,直線l與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意.--------(5分)
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線l為y=k(x-1),且M(x1,y1),N(x2,y2).
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,----------(7分)
∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,
y1•y2=[k(x1-1)][k(x2-1)]=k2[x1•x2-(x1+x2)+1]
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k2[x1•x2-(x1+x2)+1],
=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+k2($\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+1),
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2,即$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2,
解得:k=±$\sqrt{2}$,----------(10分)
故直線l的方程為y=$\sqrt{2}$(x-1)或y=-$\sqrt{2}$(x-1),
即$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0.----------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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