Question

（2013•楊浦區(qū)一模）對于實數a，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號||x||表示，對于實數a，無窮數列{a_n}滿足如下條件：a₁=|a，a_n+1=

|| 1 an  ||，an≠0 0，an=0

其中n=1，2，3，…
（1）若a=

2

，求數列{a_n}；
（2）當a＞

1

4

時，對任意的n∈N^*，都有a_n=a，求符合要求的實數a構成的集合A．
（3）若a是有理數，設a=

p

q

 （p 是整數，q是正整數，p、q互質），問對于大于q的任意正整數n，是否都有a_n=0成立，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由題設知a1=||

2

||=

2

-1，a₂=||

1

a1

||=||

1

2 -1

||=||

2

+1||=

2

-1，由此能求出an=

2

-1．
（2）由a₁=||a||=a，知

1

4

＜a＜1，1＜

1

a

＜4，由此進行分類討論，能求出符合要求的實數a構成的集合A．
（3）成立．證明：由a是有理數，可知對一切正整數n，a_n為0或正有理數，可設an=

pn

qn

，由此利用分類討論思想能夠推導出數列{a_m}中a_m以及它之后的項均為0，所以對不大q的自然數n，都有a_n=0．

解答：解：（1）∵滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號||x||表示，
a₁=

2

，a_n+1=

|| 1 an  ||，an≠0 0，an=0

其中n=1，2，3，…
∴a1=||

2

||=

2

-1，a₂=||

1

a1

||=||

1

2 -1

||=||

2

+1||=

2

-1，…（2分）
a_k=

2

-1，則a_k+1=||

1

ak

||=||

2

+1||=

2

-1，
所以an=

2

-1．…（4分）
（2）∵a₁=||a||=a，∴

1

4

＜a＜1，∴1＜

1

a

＜4，
①當

1

2

＜a＜1，即1＜

1

a

＜2時，a2=||

1

a1

||=||

1

a

||=

1

a

-1=a，
所以a²+a-1=0，
解得a=

-1+ 5

2

，（a=

-1- 5

2

∉（

1

2

，1），舍去）．…（6分）
②當

1

3

＜a≤

1

2

，即2≤

1

a

＜3時，a₂=||

1

a1

||=||

1

a

||=

1

a

-2=a，
所以a²+2a-1=0，
解得a=

-2+ 8

2

=

2

-1，（a=-

2

-1∉（

1

3

，

1

2

]，舍去）．…（7分）
③當

1

4

＜a≤

1

3

，即3≤

1

a

＜4時，a2=||

1

a1

||=||

1

a

||=

1

a

-3=a，
所以a²+3a-1=0，
解得a=

-3+ 13

2

（a=

-3- 13

2

∉(

1

4

，

1

3

]，舍去）．…（9分）
綜上，{a=

-1+ 5

2

，a=

2

-1，a=

-3+ 13

2

}．…（10分）
（3）成立．…（11分）
證明：由a是有理數，可知對一切正整數n，a_n為0或正有理數，
可設an=

pn

qn

（p_n是非負整數，q_n是正整數，且

pn

qn

既約）．…（12分）
①由a1=||

p

q

||=

p1

q1

，得0≤p₁≤q；…（13分）
②若p_n≠0，設q_n=ap_n+β（0≤βP_n，α，β是非負整數）
則

qn

pn

=a+

β

pn

，而由an=

pn

qn

，得

1

an

=

qn

pn

，
an+1=||

1

an

||=||

qn

pn

||=

β

pn

，
故P_n+1=β，q_n+1=P_n，得0≤P_n+1＜P_n．…（14分）
若P_n=0，則p_n+1=0，…（15分）
若a₁，a₂，a₃，…，a_q均不為0，則這q正整數互不相同且都小于q，
但小于q的正整數共有q-1個，矛盾．…（17分）
故a₁，a₂，a₃，…，a_q中至少有一個為0，即存在m（1≤m≤q），使得a_m=0．
從而數列{a_m}中a_m以及它之后的項均為0，所以對不大q的自然數n，都有a_n=0．…（18分）
（其它解法可參考給分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查集合的求法，考查a_n=0是否成立的判斷與證明．綜合性強，計算量大，難度較高，對數學思維能力的要求較高．解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．