Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：CM⊥EM：

(Ⅱ)求DE與平面EMC所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：因?yàn)锳C=BC，M是AB的中點(diǎn)， 　　所以CM⊥AB． 　　又EA⊥平面ABC， 　　所以CM⊥EM． 　　(Ⅱ)解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥平面CDE，垂足是H，連結(jié)CH并延長(zhǎng)交ED于點(diǎn)F，連結(jié)MF、MD， 　　∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角． 　　因?yàn)镸H⊥平面CDE， 　　所以MH⊥ED， 　　又因?yàn)镃M⊥平面EDM， 　　所以CM⊥ED， 　　則ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF． 　　設(shè)EA＝a，BD＝BC＝AC＝2 a， 　　在直角梯形ABDE中， 　　AB＝2a，M是AB的中點(diǎn)， 　　所以DE＝3a，EM＝，MD＝， 　　得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90° 　　所以MF＝． 　　在Rt△CMF中，tan∠FCM＝1，所以∠FCM=45°， 　　故CM與平面CDE所成的角是45°．