Question

如圖所示，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的點，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的長；
（2）求證：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B與平面BDE夾角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出

BE

、

B1C

，利用

BE

•

B1C

=0，即可求得結(jié)論；
（2）證明

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，可得A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，從而可得A₁C⊥平面BED；
（3）由（2）知

A1C

=（-2，2，-4）是平面BDE的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求A₁B與平面BDE夾角的正弦值．

解答：（1）解：如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），
B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．
設(shè)E點坐標為（0，2，t），則

BE

=（-2，0，t），

B1C

=（-2，0，-4）．
∵BE⊥B₁C，∴

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．
∴t=1，故CE=1．
（2）證明：由（1）得，E（0，2，1），

BE

=（-2，0，1），
又

A1C

=（-2，2，-4），

DB

=（2，2，0）
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0，且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0．
∴

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，即A₁C⊥DB，A₁C⊥BE，
又∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BDE，即A₁C⊥平面BED．
（3）解：由（2）知

A1C

=（-2，2，-4）是平面BDE的一個法向量．
又

A1B

=（0，2，-4），
∴cos＜

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

30

6

．
∴A₁B與平面BDE夾角的正弦值為

30

6

．

點評：本題考查線線垂直，線面垂直，考查線面角，考查空間向量的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．