Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，求滿足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定義在R 上的奇函數(shù)；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2^x-x）+f（x）＞4，可化成f（2^x-x+x）＞f（4），即f（2^x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴2^x＞4，解之得x＞2，
即滿足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍為（2，+∞）．
分析：（1）對(duì)已知條件令y=0，結(jié)合等式的性質(zhì)變形整理即可得到f（0）的值；
（2）令y=-x，代入已知條件并結(jié)合f（0）=0化簡(jiǎn)整理，即可得到f（-x）=-f（x），得f（x）是定義在R 上的奇函數(shù)；
（3）根據(jù)f（1）=1進(jìn)行賦值，可算出f（4）=4．再根據(jù)條件將不等式f（2^x-x）+f（x）＞4整理為f（2^x）＞f（4），最后由函數(shù)的單調(diào)性解關(guān)于x的不等式，即可得到滿足不等式的實(shí)數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并求關(guān)于x的不等式的解集．著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、賦值法求抽象函數(shù)的值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．