Question

設(shè)P是橢圓

x2

4

+y²=1上任意一點(diǎn)，A是橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

的最大值為（　�。�

• A、8
• B、16
• C、12
• D、20

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓

x2

4

+y²=1可得A（-2，0），F1(-

3

，0)，F(xiàn)₂(

3

，0)．設(shè)P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．可得

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

=6(cosθ+

2

3

)2-

2

3

，再利用余弦函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：由橢圓

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，c=

a2-b2

=

3

．
∴A（-2，0），F1(-

3

，0)，F(xiàn)₂(

3

，0)．
設(shè)P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
∴

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

=（-2-2cosθ，-sinθ）•[(-

3

-2cosθ，-sinθ)+(

3

-2cosθ，-sinθ)]
=（2+2cosθ）•4cosθ+2sin²θ
=6cos²θ+8cosθ+2
=6(cosθ+

2

3

)2-

2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=1時(shí)取最大值16．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的參數(shù)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算、余弦函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．