Question

已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，-1），P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)Q（2，0），過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則直線PA，PB的斜率分別是，
由條件得，-----------------2分
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為-----------------6分分（注：無(wú)x≠0扣1分）
（2）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
ⅰ）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，
∴
∴---------------10分
ⅱ）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0----------11分
∴----------------12分
∴
又∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴-----------------13分
=-------------------14分
綜上所述的最大值是----------------15分
∴λ的最小值為-----------------------16分
分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為 建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，分別表示出 和 ，進(jìn)而可求得 ；再看直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出 判斷出其范圍，綜合求得 的最大值，根據(jù)恒成立，求得λ的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了知識(shí)的綜合運(yùn)用，分析推理和基本的運(yùn)算能力．