對于任意的正實數(shù)a,已知關(guān)于x的方程xex=a的解存在.
(1)證明:該方程的解唯一;
(2)若將該方程的解記為Iwa,則我們可以用符號“Iw”來表示一些方程的解,例如方程(2x+1)•e2x+1=3的解為
-1+Iw3
2
.試解方程2x=-7x.
考點:根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)方程xex=a的解,即為函數(shù)f(x)=xex-a的根,根據(jù)極限思想和導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)f(x)=xex-a僅在(-1,+∞)上有且只有一個零點,可得結(jié)論.
(2)若2x=-7x,則-x•2-x=
1
7
,則-x•(eln2)-x=
1
7
,則-xln2•(e)-xln2=
ln2
7
,進而得到答案.
解答: 證明:(1)方程xex=a的解,即為函數(shù)f(x)=xex-a的零點,
∵f′(x)=(x+1)ex,
∴當(dāng)x<-1時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù),
當(dāng)x>-1時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),
故當(dāng)x=-1時,函數(shù)f(x)取最小值-
1
e
-a,
∵a>0,
∴-
1
e
-a<0,
lim
x→-∞
f(x)=-a<0,
lim
x→+∞
f(x)=+∞,
故函數(shù)f(x)=xex-a僅在(-1,+∞)上有且只有一個零點,
即方程xex=a的解唯一;
解:(2)若2x=-7x,則-x•2-x=
1
7
,
-x•(eln2)-x=
1
7
,
-xln2•(e)-xln2=
ln2
7
,
x=-
Iw
ln2
7
ln2
點評:本題考查的知識點是方程的根與函數(shù)的零點,綜合性強,運算量大,且新概率比較難理解,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1,a+
1
4
)內(nèi)有極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)求證:[(n+1)!]2>(n+1)e n-2+
2
n+1
(n∈N*,e為自然對數(shù)的底數(shù),e≈2.71828…)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C1
x2
2
-y2
=1的兩條漸近線方程分別為l1,l2,A,B分別為l1,l2上的兩點,|AB|=
2
,且動點P滿足
OP
=
OA
+
OB

(Ⅰ)求點P的軌跡方程C2;
(Ⅱ)過點S(0,-
3
5
)且斜率為k的動直線l交曲線C2于E,F(xiàn)兩點,在y軸上是否存在定點M,使以EF為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(x+a)2+lnx.
(1)當(dāng)a=
2
時,求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值;
(2)若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2,且x1∈(0,
1
2
),證明:f(x1)-f(x2)>
3
4
-ln2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|+|x+2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-a(x+1)ln(x+1).
(Ⅰ)當(dāng)a>0時,求f(x)的極值點;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,若方程f(x)=t在[-
1
2
,1]上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)m>n>0時,(1+m)n<(1+n)m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+2x-2-a(a≤0),
(1)若a=-1,求函數(shù)的零點;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(0,1]上恰有一個零點,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+2a-1在區(qū)間[0,1]上的值恒正,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=sin(-
π
3
x+
π
4
)的周期是
 

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