Question

16．一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球，其中有紅球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；白球3個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3．從袋子中任取4個(gè)球（假設(shè)取到任何一個(gè)球的可能性相同）．
（1）求取出的4個(gè)球中，含有編號(hào)為3的球的概率；
（2）在取出的4個(gè)球中，紅球編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．

Answer 1

分析 （1）分別算出取出四個(gè)球的取法數(shù)以及取出的4個(gè)球中含有編號(hào)為3的球的取法種數(shù)，后者與前者之比即為所求．
（2）可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4．然后將每種可能取值的概率計(jì)算出，即可列出分布表．再由期望的計(jì)算公式即可得出期望．

解答 解：（1）一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球，其中有紅球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；白球3個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3．
從袋子中任取4個(gè)球（假設(shè)取到任何一個(gè)球的可能性相同），
基本事件總數(shù)$n={C}_{7}^{4}$=35，
取出的4個(gè)球中，含有編號(hào)為3的球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{7}^{4}-{C}_{5}^{4}$=30，
∴取出的4個(gè)球中，含有編號(hào)為3的球的概率：
p=$\frac{m}{n}$=$\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$．
（2）由題意知X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{7}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=$1×\frac{1}{35}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{4}{7}$=$\frac{17}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)事件的概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量及分布列、期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．