Question

給出定義：若（m∈Z），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m；在此基礎(chǔ)上有函數(shù)f（x）=|x-{x}|（x∈R）．對(duì)于函數(shù)f（x）給出如下判斷：①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；③函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線（k∈Z）對(duì)稱(chēng)．則以上判斷中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①通過(guò)判斷f（-x）是否等于f（x），來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性．②利用周期性的定義，若函數(shù)滿足f（x+T）=f（x），則函數(shù)為周期是T的周期函數(shù)．③可舉出不成立的情況，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上不是單調(diào)遞增．④利用若函數(shù)滿足f（a-x）=f（x），則函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=，來(lái)判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．
解答：解：∵，
∴
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正確
∵，∴
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，∴②正確．
∵∈，∈，且{}=0，{}=0
不滿足區(qū)間上單調(diào)遞增，∴③錯(cuò)誤
∵，∴
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
∴④正確．
故判斷中正確結(jié)論的為①②④，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱(chēng)性和周期性的求法．解決本題的關(guān)鍵是理解定義及定義中的運(yùn)算方式，且對(duì)所研究的問(wèn)題有一定的探究意識(shí)．本題考查了判斷推理的能力