Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

解：（1）要使函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足x+1≠0，解得x≠-1
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠-1}
（2）f（ x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
則f（ x₁）-f（ x₂）=-
=
=
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∴＞0
∴f（ x₁）＞f（ x₂），
∴f（ x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)
分析：（1）函數(shù)的定義域，就是函數(shù)有意義的x的取值范圍，因?yàn)楹瘮?shù)解析式中有分式，所以需滿(mǎn)足分母不等于0．
（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，先設(shè)給定區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，設(shè)出x₁，x₂的大小關(guān)系，再計(jì)算f（ x₁）-f（ x₂），作差后，把差化簡(jiǎn)為幾個(gè)因式的乘積的形式，比較每個(gè)因式與0的大小，就可得到f（ x₁）與f（ x₂）的大小關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)定義域的求法，以及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，證明時(shí)一定把f（ x₁）-f（ x₂）因式分解為最簡(jiǎn)形式再判斷．