Question

若函數(shù)數(shù)f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0處的切線l與圓C：x²+y²=1相離，則P（a，b）與圓C的位置關(guān)系是（　�。�

A．在圓內(nèi)

B．在圓外

C．在圓上

D．不能確定

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0處的切線l的方程，由l與圓C：x²+y²=1相離得到圓心（0，0）到直線l的距離大于圓的半徑，整理后得到

a2+b2

＜1．從而得到答案．

解答：解：由f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

，得f′(x)=x-

a

b

，
∴f′（0）=-

a

b

，又f（0）=-

1

b

．
∴函數(shù)f(x)=

1

2

x2-

a

b

x-

1

b

在x=0處的切線l為：y+

1

b

=-

a

b

(x-0)，即ax+by+1=0．
∵l與圓C：x²+y²=1相離，
∴圓心（0，0）到直線l的距離大于圓的半徑1．
即

1

a2+b2

＞1，

a2+b2

＜1．
∴P（a，b）在圓x²+y²=1的內(nèi)部．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．