Question

已知斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)F且交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)．設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若-2＜k＜-1時(shí)，點(diǎn)M到直線(xiàn)l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為O（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)的方程為：y=k（x-1），得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=（2k²+4）=2+，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）M（，）到直線(xiàn)l'：3x+4y-m=0的距離d=，由點(diǎn)M到直線(xiàn)l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，，由-2＜k＜-1和m＜，能求出m的取值范圍．
解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)為O（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0），
∴設(shè)直線(xiàn)的方程為：y=k（x-1），①
將①²代入拋物線(xiàn)方程中可得：
k²（x-1）²=4x，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，②
∴x₁+x₂=（2k²+4）=2+，
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，
又∵x==1+，…③
y==，
∴，…④
∴將④代入③可得：
x=1+，
∴y²=2x-2．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x-2．
（2）由（1）知，點(diǎn)M（，），
∴M（，）到直線(xiàn)l'：3x+4y-m=0的距離d=，
∵點(diǎn)M到直線(xiàn)l'：3x+4y-m=0（m為常數(shù)，）的距離總不小于，
∴，
∴，或，
即，或，
∵-2＜k＜-1，
∴-＜＜4，
，
∴m，或m≥6，
∵m＜，
∴m≤-．
故m的取值范圍是{m|m≤-}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算推理能力和論證求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．