Question

【題目】已知函數有兩個零點，有一個極值點．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）先求導，得，對參數進行分類討論，確定只有當時，有一個極值點，在上單調遞減，上單調遞增，故只需，解出即可

（2）由（1）可判斷，，可令，則，，由化簡可得，，即,最終需要通過構造函數，求證在上即可

解：（1）函數定義域為，則

①若，則僅一個零點，不符題意

②若，則，

在上單調遞增，不可能有兩個零點，也不符題意

③若，令，即

得只能取一個零點，當，，，

所以在上單調遞減，上單調遞增，而要使有兩個零點，

要滿足，即； 且當趨于0和正無窮時，趨向正無窮

綜上a的取值范圍為．

（2）由題意及（1）可知，．

法一：令，則，，

由，即：

而

即：由，只需證：

令，則

令，則

故在上遞增，

故在上遞增，

∴

法二：構造函數

（易知等號取不到）

故，在上遞減，

即：，則

而由，，在上單調遞增

故，得

另得

∴