Question

知圓C：（x-1）²+y²=2，過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的直線(xiàn)l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1：3的兩段圓弧，則直線(xiàn)l的方程為

3

3

x-y+

3

3

=0或

3

3

x+y+

3

3

=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示，連接CE，CF，過(guò)C作CD垂直于EF于點(diǎn)D，由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，根據(jù)直線(xiàn)l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1：3的兩段圓弧，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系得到∠ECF為周角的

1

4

，求出∠ECF為直角，又CE=CF，可得出三角形ECF為等腰直角三角形，由CE及CF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，再利用垂徑定理得到D為EF中點(diǎn)，利用斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半求出CD的長(zhǎng)，即為圓心距，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，由A的坐標(biāo)及k表示出直線(xiàn)l的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心C到直線(xiàn)l的距離d，讓d等于CD的長(zhǎng)列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進(jìn)而確定出直線(xiàn)l的方程．

解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

連接CE，CF，過(guò)C作CD⊥EF于點(diǎn)D，
由圓的方程（x-1）²+y²=2，得到圓心C（1，0），半徑r=

2

，
∵直線(xiàn)l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1：3的兩段圓弧，
∴∠ECF=

1

4

×360°=90°，又EC=FC=

2

，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴EF=

CE2+CF2

=2，
∴CD=ED=FD=

1

2

EF=1，
設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，由A（-1，0），得到直線(xiàn)l方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d=

|2k|

k2+1

=1，即k²=

1

3

，
解得：k=±

3

3

，
則直線(xiàn)l的方程為

3

3

x-y+

3

3

=0或

3

3

x+y+

3

3

=0．
故答案為：

3

3

x-y+

3

3

=0或

3

3

x+y+

3

3

=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，勾股定理，以及弦、弧、圓心角之間的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．