【題目】已知橢圓：，動(dòng)直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)，，且△AOB的面積為1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）證明：為定值；

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為.

【解析】

（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝m，代入橢圓方程求解，結(jié)合△AOB的面積為1求得m值，可得為定值4，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，可得A，B橫坐標(biāo)的和與積，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離，結(jié)合△AOB的面積為1，可得，則的值可求，從而說明為定值；

（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則|；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）可得M的坐標(biāo)，求得，寫出，結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最值.

（1）當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x＝m

代入橢圓方程，得，即

由△AOB的面積為1，可得，

解得：，則；

當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)，

聯(lián)立，

化簡(jiǎn)整理可得，

設(shè)，，

可得，，

，

由△AOB的面積為1，可得，

化簡(jiǎn)可得，

則

，

而，

綜上可得，為定值4；

（2）設(shè)，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，

，則|；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）可得，

，

則，

可得

.

∵，∴.

可知.

綜上，的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：

①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；

②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；

③樣本的中位數(shù)為480萬元.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表.（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）

分組

頻數(shù)

6

9

20

10

5

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；

（2）根據(jù)物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)估計(jì)物理成績(jī)的中位數(shù)；

（3）若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從此6人中隨機(jī)抽取3人，記X為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，直線的斜率為，且到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過，分別作直線，，且與相交于軸上方一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)間距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx-a．

(1)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（x+1）2，令f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x），若fn（x）=ex（anx2+bnx+cn），記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列選項(xiàng)中與S2019的值最接近的是( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，它們所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.

（1）求證：EF//平面ABCD；

（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)A作斜率為的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)P為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的都有？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

（3）若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求的最小值.

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