Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過，，三點，是線段上的動點，，是過點且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點，交圓于、兩點．

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數(shù).

①求的值；

②求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

(1)確定出圓的圓心坐標，然后考慮直線的斜率是否存在，斜率存在時利用半弦長、半徑、圓心到直線的距離構(gòu)造成的直角三角形求解出直線的方程，注意驗證是否符合；

(2) ①根據(jù)得到的軌跡應(yīng)該滿足的條件，再將其轉(zhuǎn)化為點到直線距離問題完成求解；

②考慮分類討論直線的斜率存在與否，并計算或表示出對應(yīng)的面積，從而確定出面積的最小值.

（1）由題意可知，圓的直徑為，

所以圓方程為：．

因為，所以到直線的距離為.

若斜率不存在，則到直線的距離為2，不符合，所以斜率存在；

設(shè)方程為：，則，解得，，

當時，直線與軸無交點，不符合，舍去．

所以，此時直線的方程為．

（2）①設(shè)，由點在線段上，得，即．

由，得．

依題意知，線段與圓至多有一個公共點，

故，解得或．

因為是使恒成立的最小正整數(shù)，所以．

②，圓方程為：，

（i）當直線：時，直線的方程為，此時，；

（ii）當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，

則的方程為：，點．所以，．

又圓心到的距離為，

所以，．

故，取等號時.

又因為，所以三角形面積的最小值為.