Question

（2013•綿陽一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

．
（I）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)g（x）=kx+1，對?x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（III）設(shè)b_n=

ln(n+1)

n3

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜1+ln2（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

，可確定a的值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-（k+1）x，利用h（x）_max≤0，即可求得k的取值范圍；
（Ⅲ）先證明當(dāng)n≥2時，有l(wèi)n（n+1）＜n，再利用放縮法，裂項法，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由已知：f′(x)=

1

x

-a（x＞0），
∵函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

．
∴f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，∴a=1．
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
∴f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．  …（5分）
（Ⅱ）解：?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-（k+1）x，有h′(x)=

1-(k+1)x

x

．
①當(dāng)k+1≤0，即k≤-1時，h′（x）＞0，此時h（1）=ln1-（k+1）≥0與h（x）≤0矛盾．
②當(dāng)k+1＞0，即k＞-1時，令h′（x）=0，解得x=

1

k+1

，
∴x∈(0，

1

k+1

)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，x∈(

1

k+1

，+∞)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（

1

k+1

）=ln

1

k+1

-1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥

1

e

-1．
綜合k＞-1，知k≥

1

e

-1．
∴綜上所述，k的取值范圍為[

1

e

-1，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f （x）≤f （1）=0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
當(dāng)n=1時，b₁=ln（1+1）=ln2，
當(dāng)n≥2時，有l(wèi)n（n+1）＜n，
∵b_n=

ln(n+1)

n3

＜

n

n3

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（

1

2-1

-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=ln2+（1-

1

n

）＜1+ln2．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．