Question

已知二次函數(shù)f（x）的定義域為R，f（0）=1，對任意實數(shù)a、b都有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的遞增區(qū)間；
（3）設f（x）在區(qū)間[m，m+2]上的最大值為g（m），求g（m）的值域．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，對任意實數(shù)a、b都有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），
令a=0可得 f（-b）=1-b（1-b）=1-b+b²，∴f（b）=1+b+b²，故有f（x）=x²+x+1．
（2）由于f（x）=x²+x+1 的對稱軸為 x=-，圖象為開口向上的拋物線，故函數(shù)的遞增區(qū)間是．
（3）由于二次函數(shù)f（x）的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=-，f（x）在區(qū)間[m，m+2]上的最大值為g（m），
①故當區(qū)間[m，m+2]的左端點到對稱軸的距離大于或等于右端點到對稱軸的距離時，即|m-（-）|≥|m+2-（-），即 m≤-時，
則當x=m時，f（x）取得最大值為 f（m）=m²+m+1，即 g（m）=m²+m+1．
這時，g（m）在區(qū)間（-∞，-]是減函數(shù)，故當m=-時，g（m）=m²+m+1取得最小值為，無最大值．
②故當區(qū)間[m，m+2]的左端點到對稱軸的距離小于右端點到對稱軸的距離時，即|m-（-）|＜|m+2-（-），即 m＞- 時，
則當x=m+2時，f（x）取得最大值為 f（m+2）=（m+2）²+m+2+1=m²+5m+7．
這時，g（m）在區(qū)間（-，+∞）上是增函數(shù)，g（m）=m²+5m+7＞g（-）=，g（m）=m²+5m+7無最大值．
綜上可得，g（m）的最小值為，而g（m）沒有最大值，故g（m）的值域為 ．
分析：（1）令a=0，由條件可得 f（-b）=1-b（1-b）=1-b+b²，可得 f（b）=1+b+b²，從而得到f（x）=x²+x+1．
（3）由題意可得，①故當區(qū)間[m，m+2]的左端點到對稱軸的距離大于或等于右端點到對稱軸的距離時，即m≤-時，g（m）=m²+m+1 由此求得g（m）的值域．
②故當區(qū)間[m，m+2]的左端點到對稱軸的距離小于右端點到對稱軸的距離時，即 m＞- 時，g（m）=m²+5m+7，由此求得g（m）的值域，再把這兩個值域取并集，
即得所求．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于基礎題．