分析 (I)連接A1B,記A1B與AB1的交點為F.推導(dǎo)出A1B⊥AB1,且AF=FB1,F(xiàn)E=EB1,從而DE∥BF,DE⊥AB1,作CG⊥AB,連接DG,由三垂線定理,能證明DE為異面直線AB1與CD的公垂線.
(II)由DG∥AB1,得∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角,∠CDG=45°,作B1H⊥A1C1,則B1H⊥面AA1C1C.作HK⊥AC1,K為垂足,連接B1K,由三垂線定理,得∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角,由此能求出二面角A1-AC1-B1的正切值.
解答 證明:(I)連接A1B,記A1B與AB1的交點為F.
因為面AA1BB1為正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,
又AE=3EB1,所以FE=EB1,
又D為BB1的中點,故DE∥BF,DE⊥AB1.…(3分)
作CG⊥AB,G為垂足,由AC=BC知,G為AB中點.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG,
則DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂線定理,得DE⊥CD.
所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.
解:(II)因為DG∥AB1,故∠CDG為異面直線AB1與CD的夾角,∠CDG=45°
設(shè)AB=2,則AB1=2√2,DG=√2,CG=√2,AC=√3.
作B1H⊥A1C1,H為垂足,因為底面A1B1C1⊥面AA1CC1,故B1H⊥面AA1C1C.
又作HK⊥AC1,K為垂足,連接B1K,由三垂線定理,得B1K⊥AC1,
因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.
B1H=A1B1×√A1C12−(12A1B1)2A1C1=2√2√3,
HC1=√B1C12−B1H2=√33,AC1=√22+(√3)2=√7,HK=AA1×HC1AC1=2√33√7,
tan∠B1KH=B1HHK=√14,所以二面角A1-AC1-B1的正切值為√14.
點評 三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一,是高考的熱點,它是處理線線垂直問題的有效方法,同時它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量,用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題,淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法,從而降低了思維難度,使解題變得程序化,這是用向量解立體幾何問題的獨到之處.
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A. | .單調(diào)減區(qū)間為 (-∞,+∞) | B. | 單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞) | ||
C. | 單調(diào)減區(qū)間為 (-∞,0)∪(0,+∞) | D. | 單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞) |
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A. | f(x)=\frac{1}{|x|} | B. | f(x)={(\frac{1}{3})^x} | C. | f(x)=x2+1 | D. | f(x)=lg|x| |
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