Question

已知直線l₁：4x－3y＋6＝0和直線l₂：x＝－；若拋物線C：y²＝2px(p>0)上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l₂交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)由定義知l₂為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線焦點坐標(biāo)由拋物線定義知拋物線上點到直線l₂的距離等于其到焦點F的距離．

 所以拋物線上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為焦點F到直線l₁的距離．

所以2＝，則p＝2，所以拋物線方程為y²＝4x.

(2)設(shè)M(x₀，y₀)，由題意知直線l斜率存在，設(shè)為k，且k≠0，所以直線l方程為y－y₀＝k(x－x₀)，

代入y²＝4x消x得：ky²－4y＋4y₀－ky＝0.

由Δ＝16－4k(4y₀－ky)＝0，得k＝.

所以直線l方程為y－y₀＝(x－x₀)，

令x＝－1，又由y＝4x₀得

設(shè)Q(x_1,0)，則

由題意知·＝0，

即(x₀－x₁)(－1－x₁)＋＝0，把y＝4x₀代入左式，得：(1－x₁)x₀＋x＋x₁－2＝0，

因為對任意的x₀等式恒成立，

所以

所以x₁＝1即在x軸上存在定點Q(1,0)在以MN為直徑的圓上．