已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-;若拋物線C:y2=2px(p>0)上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N,試問在x軸上是否存在定點Q,使Q點在以MN為直徑的圓上,若存在,求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
解:(1)由定義知l2為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線焦點坐標(biāo)由拋物線定義知拋物線上點到直線l2的距離等于其到焦點F的距離.
所以拋物線上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離.
所以2=,則p=2,所以拋物線方程為y2=4x.
(2)設(shè)M(x0,y0),由題意知直線l斜率存在,設(shè)為k,且k≠0,所以直線l方程為y-y0=k(x-x0),
代入y2=4x消x得:ky2-4y+4y0-ky=0.
由Δ=16-4k(4y0-ky)=0,得k=
.
所以直線l方程為y-y0=(x-x0),
令x=-1,又由y=4x0得
設(shè)Q(x1,0),則
由題意知·
=0,
即(x0-x1)(-1-x1)+=0,把y
=4x0代入左式,得:(1-x1)x0+x
+x1-2=0,
因為對任意的x0等式恒成立,
所以
所以x1=1即在x軸上存在定點Q(1,0)在以MN為直徑的圓上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)F1、F2分別是橢圓E:+
=1(a>b>0)的左、右焦點,M、N分別為其短軸的兩個端點,且四邊形MF1NF2的周長為4,設(shè)過F1的直線l與E相交于A、B兩點,且|AB|=
.
(1)求|AF2|·|BF2|的最大值;
(2)若直線l的傾斜角為45°,求△ABF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,單位圓O上有一動直徑AB,其中點A以速度π沿圓周逆時針運(yùn)動,同時動直徑AB上有一動點P以速度2從A出發(fā)沿AB往返運(yùn)動.則點P的軌跡是( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知拋物線P:y2=x,直線AB與拋物線P交于A,B兩點,OA⊥OB,,OC與AB交于點M.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)求四邊形AOBC的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
等比數(shù)列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an等于( )
(A)(-2)n-1 (B)-(-2)n-1
(C)(-2)n (D)-(-2)n
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn等于( )
(A)2n-1 (B)n-1 (C)
n-1 (D)
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