在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),
AB
-t
OC
OC
垂直;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),t
OA
+
OB
OA
-2
OB
平行,平行時(shí)它們是同向還是反向.
分析:(1)利用平行四邊形的性質(zhì),確定E的坐標(biāo),從而可得D的坐標(biāo),即可求得以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長;
(2)確定
AB
-t
OC
OC
的坐標(biāo),利用垂直,可得數(shù)量積為0,即可求得t的值;
(3)確定t
OA
+
OB
OA
-2
OB
的坐標(biāo),利用平行,可得方程,從而可求t的值,即可判斷平行時(shí)它們是同向還是反向.
解答:解:(1)設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對角線的交點(diǎn)為E,則E為B,C的中點(diǎn),E(0,1)
又E(0,1)為A,D的中點(diǎn),所以D(1,4)
故所求的兩條對角線的長分別為BC=4
2
,AD=2
10
;
(2)由題設(shè)知:
OC
=(-2,-1),
AB
-t
OC
=(3+2t,5+t).
AB
-t
OC
OC
垂直,得:(
AB
-t
OC
)•
OC
=0

即(3+2t,5+t)•(-2,-1)=0,
從而5t=-11,所以t=-
11
5
.…(6分)
(3)由題設(shè)知:t
OA
+
OB
=(2-t,3-2t),
OA
-2
OB
=(-5,-8),
由t
OA
+
OB
OA
-2
OB
平行,得10t-15=8t-16,解得:t=-
1
2

此時(shí),t
OA
+
OB
=-
1
2
(-5,-8),所以它們方向相反.…(9分)
點(diǎn)評:本題考查向量知識的運(yùn)用,考查向量的垂直與平行,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案