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如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．

（1）證明見解析；（2） ．

解析試題分析：（1）取的中點，然后利用矩形及正三角形的性質可證明，，從而可證明結果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標系，通過求兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點作，然后證明為所求二面角的一個平面角，再在中進行計算．
（1）證明：取的中點，連接，
∵為正三角形，∴．
又∵在四邊形中，
，∴,且，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，
∴，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標系，并設，則，,
∴，，，，，
∴，,,         ．
設平面，平面的法向量分別為，
則∴
∴分別取平面，平面的一個法向量，
∴，
∴二面角的余弦值為．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點．
（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，四邊形ACFE是矩形，且平面平面ABCD，點M在線段EF上.
（1）求證：平面ACFE；
（2）當EM為何值時，AM//平面BDF？證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1­CE­C1的正弦值；
(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知直四棱柱的底面為正方形，，為棱的中點.

（1）求證：；
（2）設為中點，為棱上一點，且，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，且．
現以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．

（1）求證：∥平面;
（2）求證：;
（3）求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分別為AB、FC的中點，且AB = 2，AD =" EF" = 1.

（1）求證：AF⊥平面FBC；
（2）求證：OM∥平面DAF；
（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD，VF-CBE，求VF-ABCD∶VF-CBE的值.

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