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16.設(shè)橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為22,且過點P(6,1),O為坐標原點,
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由.

分析 (1)由橢圓的離心率及過點P(6,1),列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓E的方程.
(2)假設(shè)存在這樣的圓,設(shè)該圓的切線為y=kx+m,與橢圓聯(lián)立,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì),結(jié)合已知條件能求出|AB|的取值范圍.

解答 解:(1)∵橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為22,且過點P(6,1),
{ca=226a2+12=1a2=2+c2,解得a2=8,b2=4,
∴橢圓E的方程為x28+y24=1.
(2)假設(shè)存在這樣的圓,設(shè)該圓的切線為y=kx+m,
{y=kx+mx28+y24=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,
x1+x2=4km1+2k2,x1x2=2m281+2k2,
y1y2=( kx1+m ) ( kx2+m )=k2x1x2+km ( x1+x2)+m2=m28k21+2k2
OAOB,∴x1x2+y1y2=0,
2m281+2k2+m28k21+2k2=0,∴3m2-8k2-8=0,∴k2=3m288≥0
又 8k2-m2+4>0,∴{m223m28,∴m283,∴m≥263或m≤-263,
又y=kx+m與圓心在原點的圓相切,
∴r=|m|1+k2,即r2=m21+k2=m21+3m288=83,r=263
∴所求圓:x2+y2=83,
當切線斜率不存在時,切線為x=±263,
與橢圓x28+y24=1交于(263,±263)或(-263±263),
滿足OA⊥OB,
綜上:存在這樣的圓x2+y2=83滿足條件,
∵|AB|=1+k2|x1-x2|=324k4+5k2+134k4+4k2+1=3231+k24k4+4k2+1
當k≠0時,|AB|=3231+14k2+1k2+4,
463|AB|23(當k=±22時取等號)
當k=0時,|AB|=463
當k不存時,|AB|=463
∴|AB|∈[463,23].

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的圓是否存在的判斷及弦長的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì)、橢圓性質(zhì)的合理運用.

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