19.如圖,在四棱錐E-ABCD中,△ABD是正三角形,△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,EC⊥BD,連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O.
(Ⅰ)求證:平面AEC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)判斷在線段AE上是否存在點(diǎn)M,使得DM∥平面BEC,并說明理由.

分析 (Ⅰ)證明:BD⊥AC,利用EC⊥BD,AC∩EC=C,可得BD⊥平面AEC,即可證明平面AEC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)取AB中點(diǎn)N,連接MN,DN,MN,易證MN∥平面BEC,DN∥平面BEC,由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC,又DM?平面DMN,于是DM∥平面BEC.

解答 證明:(Ⅰ)設(shè)BD的中點(diǎn)為O′,則AO′⊥BD,CO′⊥BD.∴A,O′,C三點(diǎn)共線,
∴BD⊥AC,
∵EC⊥BD,AC∩EC=C,
∴BD⊥平面AEC,
∵BD?平面ABCD,
∴平面AEC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)M為線段AE的中點(diǎn)時(shí),DM∥平面EBC,理由如下:
取AB中點(diǎn)N,連接MN,DN,
∵M(jìn)是AE的中點(diǎn),
∴MN∥BE,又MN?平面BEC,BE?平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等邊三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN?平面BEC,BC?平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM?平面DMN,
∴DM∥平面BEC.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查線面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應(yīng)用,著重考查分析推理能力與表達(dá)、運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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7.某公司有A,B,C,D,E五輛汽車,其中A、B兩輛汽車的車牌尾號(hào)均為1,C、D兩輛汽車的車牌尾號(hào)均為2,E車的車牌尾號(hào)為6,已知在非限行日,每輛車可能出車或不出車,A、B、E三輛汽車每天出車的概率均為$\frac{1}{2}$,C、D兩輛汽車每天出車的概率均為$\frac{2}{3}$,且五輛汽車是否出車相互獨(dú)立,該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:
車牌尾號(hào)0和51和62和73和84和9
限行日星期一星期二星期三星期四星期五
(1)求該公司在星期一至少有2輛汽車出車的概率;
(2)設(shè)X表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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14.已知f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

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12.若a,b,c>0,求證:
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10.為了解某高校學(xué)生中午午休時(shí)間玩手機(jī)情況,隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均午休時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均午休時(shí)玩手機(jī)不低于40分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)控”.
非手機(jī)迷手機(jī)迷合計(jì)
xxm
y1055
合計(jì)75      25           100       
(1)求列表中數(shù)據(jù)的值;
(2)能否有95%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān)?
注:k2=$\frac{n(ac-bd)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(k2≥x00.050.10
k03.8416.635

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