Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)可得d=2，a₁=1，從而能夠得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）因?yàn)閎_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用列項(xiàng)相消法求和即可．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d，將其代入②得（16-3d）（16+3d）=220，
即256-9d²=220，
9d²=36，解得：d=±2，
又{a_n}是一個大于0的等差數(shù)列，
因此d=-2不符合題意舍去，所以d=2，代入①得a₁=1，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）因?yàn)閎_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與列項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．