Question

（Ⅰ）雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（

15

，4），求其方程；
（Ⅱ）求焦點(diǎn)在x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，代入點(diǎn)（

15

，4），即可求出求其方程；
（Ⅱ）分類討論，利用拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，即可求焦點(diǎn)在x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓

y2

36

+

x2

27

=1的焦點(diǎn)為（0，±3），c=3，…（2分）
設(shè)雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，因?yàn)檫^點(diǎn)(

15

，4)，得

16

a2

-

15

9-a2

=1，得a²=4，或36，
而a²＜9，∴a²=4，雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．…（6分）
（Ⅱ）由題意知拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又焦點(diǎn)在x-2y-4=0上，
令x=0，得y=-2，此時(shí)焦點(diǎn)為（0，-2），求得拋物線為x²=-8y…（8分）
令y=0，得x=4，焦點(diǎn)為（4，0）求得拋物線為y²=16x，
∴所求拋物線為x²=-8y和y²=16x．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線、橢圓、拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．