Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點
（1）求證：PA⊥平面CDM；
（2）點N在棱PA上，且PN=

1

4

PA，求四面體N-MCD的體積．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥CD于O，連接OA由側面PDC與底面ABCD垂直，根據面面垂直的性質可知PO⊥面ABCD，則PO⊥CD，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，根據三邊滿足勾股定理則OA⊥CD，從而CD⊥面POA，則CD⊥PA，取PA中點N，連接ON，MN，由M為PB中點，則MNOC為平行四邊形，所以CM‖ON，又在三角形POA中OP=OA=

3

，N為PA中點，所以ON⊥PA，而CM⊥PA，CM∩DC=C，根據線面垂直的判定定理知PA⊥面CDM；
（2）先求出CM，DM的長，從而DM²=CM²+CD²根據三邊滿足勾股定理得CM⊥CD，求出三角形CDM的面積，又因為PA⊥面CDM，根據三棱錐的體積公式求出體積即可．

解答：證明：（1）作PO⊥CD于O，連接OA由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD
所以PO⊥CD，
又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
則∠DOA=90°，即OA⊥CD
所以CD⊥面POA，所以CD⊥PA，（2分）
取PA中點N，連接ON，MN，由M為PB中點，
則MNOC為平行四邊形，所以CM‖ON，
又在三角形POA中OP=OA=

3

，N為PA中點，
所以ON⊥PA，所以CM⊥PA，（5分）
有由CM∩DC=C，所以PA⊥面CDM（6分）
（2）

CM

=(

3

2

，0，

3

2

)，∴|

CM

|=

6

2

，

DM

=(

3

2

，2，

3

2

)，∴|

DM

|=

22

2

又|

CD

|=2，∴DM²=CM²+CD²∴CM⊥CD
∴S△CDM=

1

2

×2×

6

2

=

6

2

又因為PA⊥面CDM，VP-CDM=

1

3

S△CDM•

PA

4

=

1

3

×

6

2

×

6

4

=

1

4

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及四面體體積的計算，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題．