Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的x，y∈R都滿足：f（xy）=xf（y）+yf（x）．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性，并寫出證明過程；
（Ⅱ） 求證：?x，y∈R且y≠0：f（

x

y

）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
（Ⅲ） 已知f（2）=2，設a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）先令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，即可證函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）令x=y=1，求得f（1）=0，再令y=

1

x

，得到f（

1

x

）=-

1

x2

f（x），繼而求證．
（Ⅲ）令x=2，y=2^n-1，求得a_n=2a_n-1+2n，繼而得到{

an

2n

}是以1為首項，1為公差的等差數列，

解答： 解：（Ⅰ）f（x）是奇函數，
令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即
f（-x）=-f（x）．
故函數f（x）是奇函數，
（Ⅱ）證明：令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴x≠0時，f（x•

1

x

）=xf（

1

x

）+

1

x

f（x）=0
∴f（

1

x

）=-

1

x2

f（x），
∴?x，y∈R且y≠0，f（

x

y

）=f（x•

1

y

）=xf（

1

y

）+

1

y

f（x）=-

x

y2

f（y）+

1

y

f（x）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
∴?x，y∈R且y≠0：f（

x

y

）=

yf(x)-xf(y)

y2

；
（Ⅲ）∵a₁=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）．
  令x=2，y=2^n-1，
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
即a_n=2a_n-1+2n（n≥2），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴{

an

2n

}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴

an

2n

=1+（n-1），
即a_n=n•2ⁿ．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數奇偶性與單調性的判斷與證明，考查等差數列的問題，屬于中檔題．