Question

某個(gè)凸多面體有32個(gè)面，各面是三角形或五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則這個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)可以是（　�。�

• A、60
• B、45
• C、30
• D、15

Answer 1

分析：設(shè)出這個(gè)凸多面體有n個(gè)面是三角形，則是五邊形的面有32-n個(gè)，寫出總棱數(shù)的表示式，根據(jù)歐拉定理寫出v與m的關(guān)系式，然后討論這個(gè)不定方程的自然數(shù)解．得到結(jié)果

解答：解：設(shè)這個(gè)凸多面體有n個(gè)面是三角形，則是五邊形的面有32-n個(gè)，此時(shí)總棱數(shù)
E=

3n+5(32-n)

2

=80-n條．
由歐拉定理可知，V+32-E=2，
∴V=50-n．
又設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)為m條（其中3≤m≤5且m∈N*），
由于每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則總棱數(shù)E=

mV

2

條，
由歐拉定理可知，V=

60

m-2

，
∴50-n=

60

m-2

（其中3≤m≤5且m∈N*）．然后討論這個(gè)不定方程的自然數(shù)解：
當(dāng)m=3時(shí)，可得n=-10，不合題意，舍去；
當(dāng)m=4時(shí)，可得n=20，∴V=30；
當(dāng)m=5時(shí)，可得n=30，∴V=20．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歐拉函數(shù)與歐拉定理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵需要寫出所有的可能的情況，這里應(yīng)用分類討論思想，注意做到不重不漏．