解法一:(Ⅰ)以C為原點(diǎn),分別以CB、CA、CC
1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C
1(0,0,2),
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設(shè)G(0,2,h),則
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.∵AC
1⊥EG,∴
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.
∴-1×0+1×(-2)+2h=0.∴h=1,即G是AA
1的中點(diǎn).
(Ⅱ)設(shè)
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是平面EFG的法向量,則
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.
所以
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平面EFG的一個法向量m=(1,0,1)
∵
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,
∴
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,即AC
1與平面EFG所成角θ為
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解法二:(Ⅰ)取AC的中點(diǎn)D,連接DE、DG,則ED∥BC
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∵BC⊥AC,∴ED⊥AC.
又CC
1⊥平面ABC,而ED?平面ABC,∴CC
1⊥ED.
∵CC
1∩AC=C,∴ED⊥平面A
1ACC
1.
又∵AC
1⊥EG,∴AC
1⊥DG.
連接A
1C,∵AC
1⊥A
1C,∴A
1C∥DG.
∵D是AC的中點(diǎn),∴G是AA1的中點(diǎn).
(Ⅱ)取CC
1的中點(diǎn)M,連接GM、FM,則EF∥GM,
∴E、F、M、G共面.作C
1H⊥FM,交FM的延長線于H,∵AC⊥平面BB
1C
1C,
C
1H?平面BB
1C
1C,∴AC⊥G
1H,又AC∥GM,∴GM⊥C
1H.∵GM∩FM=M,
∴C
1H⊥平面EFG,設(shè)AC
1與MG相交于N點(diǎn),所以∠C
1NH為直線AC
1與平面EFG所成角θ.
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24798.png' />,∴
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,∴

.
分析:解法一:(Ⅰ)以C為原點(diǎn),分別以CB、CA、CC
1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量數(shù)量積為零即可求得結(jié)果;
(Ⅱ)求出平面EFG的法向量的一個法向量,利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果;
解法二:(Ⅰ)取AC的中點(diǎn)D,連接DE、DG,則ED∥BC,利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結(jié)果;(Ⅱ)取CC
1的中點(diǎn)M,連接GM、FM,則EF∥GM,找出直線與平面所成的角,解三角形即可求得結(jié)果.
點(diǎn)評:本小題主要考查直線與平面垂直的判定,以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.屬中檔題.