Question

設函數對任意，都有，當時， 
（1）求證：是奇函數;
（2）試問：在時 ，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由.
（3）解關于x的不等式

Answer 1

（1）詳見解析；（2）函數最大值為；（3）①，則解為；②，則解為；③，則無解.

試題分析：（1）要證明為奇函數，需要證明.如何利用所給條件變出這樣一個等式來？
為了產生，令，則.這時的等于0嗎？如何求？再設可得，從而問題得證.
（2）一個連續(xù)函數在閉區(qū)間上必最大值的最小值.為了求函數的最值，就需要研究函數的單調性.研究單調性，第一，根據定義，第二利用導數.抽象函數研究單調性只能用定義.任取，則，根據條件可得：即
所以為減函數，那么函數在上的最大值為.
（3）有關抽象函數的不等式，都是利用單調性去掉.首先要將不等式化為，注意必須是左右各一項.在本題中，由題設可得，在R上為減函數
，即.下面就解這個不等式.這個不等式中含有參數，故需要分情況討論.
試題解析：（1）設可得，設，則
所以為奇函數.
（2）任取，則，又
所以
所以為減函數。
那么函數最大值為，，
所以函數最大值為.
（3）由題設可知
即
可化為
即，在R上為減函數
，即，
①，則解為
②，則解為
③，則無解