Question

直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t為參數(shù)）和曲線C₂：ρ=1上，當(dāng)|AB|長(zhǎng)取得最小值時(shí)，求線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由題意，曲線C₁和曲線C₂都表示半徑為1的圓，由平面幾何知識(shí)，可得|AB|的最小值為兩圓的圓心距再減去兩個(gè)圓的半徑；當(dāng)|AB|長(zhǎng)取得最小值時(shí)，線段AB的垂直平分線是過(guò)C₁C₂的中點(diǎn)（1.5，2），與C₁C₂垂直的直線，斜率為-

3

4

，可得結(jié)論．

解答： 解：曲線C₁：

x=3+cost y=4+sint

（t為參數(shù)）化成普通方程：（x-3）²+（y-4）²=1
∴曲線C₁表示以點(diǎn)M（3，4）為圓心，半徑為1的圓；
∵曲線C₂：ρ=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓
∴曲線C₁上點(diǎn)A和曲線C₂上點(diǎn)B的最短距離為兩個(gè)圓的圓心距減去兩圓的半徑，
即|AB|_min=3；
當(dāng)|AB|長(zhǎng)取得最小值時(shí)，線段AB的垂直平分線是過(guò)C₁C₂的中點(diǎn)（1.5，2），與C₁C₂垂直的直線，斜率為-

3

4

，
∴方程為y-2=-

3

4

（x-1.5），直線極坐標(biāo)方程為：6ρcosθ+8ρsinθ+25=0

點(diǎn)評(píng)：本題以參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為例，求分別在兩個(gè)圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值，著重考查了圓與圓的位置關(guān)系的知識(shí)，屬于中檔題．