【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，求證：對任意的.

【答案】（1）在上是單調(diào)遞減的函數(shù)；（2）詳見解析．

【解析】試題分析：（1）求導，根據(jù)導函數(shù)的取值情況分析的單調(diào)性；（2）令，求導，分析其單調(diào)性，進而研究其取值情況，問題等價于證明即可得證..

試題解析：（1）當時， ， ，

，∵當時， ，∴，∴在上是單調(diào)遞減的函數(shù)；（2）設， ， ，令， 則，當時， ，有，∴在上是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，

又∵， ，∴存在唯一的，使得， ∴當時， ， 在區(qū)間單調(diào)遞增；

當時， ， 在區(qū)間單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上

，

∵，∴，將其代入上式得

，

令， ，則，即有， ，

∵的對稱軸，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，

∴，（ ），即任意， ，∴，因此任意， .

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點（都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

已知圓的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.若直線與圓相交于不同的兩點.

（1）寫出圓的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；

（2）若弦長，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中，若是的三條邊長，則下列結論中正確的是（ ）

①存在，使、、不能構成一個三角形的三條邊

②對一切，都有

③若為鈍角三角形，則存在，使

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】4個男生，3個女生站成一排．（必須寫出算式再算出結果才得分）

（Ⅰ）3個女生必須排在一起，有多少種不同的排法？

（Ⅱ）任何兩個女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（Ⅲ）甲乙二人之間恰好有三個人，有多少種不同的排法？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，圓的極坐標方程為，若以極點為原點，極軸所在的直線為軸建立平面直角坐標系

（1）求圓的參數(shù)方程；

（2）在直角坐標系中，點是圓上的動點，試求的最大值，并求出此時點的直角坐標；

（3）已知為參數(shù)），曲線為參數(shù)），若版曲線上各點恒坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動.

（1）求線段的中點的軌跡的方程；

（2）當時，曲線與軸交于兩點，點在線段上，過作軸的垂線交曲線于不同的兩點，點在線段上，滿足與的斜率之積為-2，試求與的面積之比.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著手機的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.

年齡（單位：歲）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

[65,75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

（Ⅱ）若從年齡在[25,35）和[55,65）的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎勵，求3人中至少有1人年齡在[55,65）的概率.

參考數(shù)據(jù)如下：

附臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

的觀測值： （其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，離心率為，兩焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作圓的切線交橢圓于兩點，求弦長的最大值．

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