Question

已知冪函數f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）在（0，+∞）上是增函數，且在其定義域內是偶函數，求p的值，并寫出相應的函數（x）．

Answer 1

分析：根據冪函數的性質，由在（0，+∞）上是增函數可知，指數大于零，再由在其定義域內是偶函數驗證求解．

解答：解：∵冪函數f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函數，
所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，
解得-1＜p＜3．
又由p∈Z，
所以p=0、1、2．
當p=0時，f（x）=x

3

2

，不是偶函數，不符合題意；
當p=1時，f（x）=x²，是偶函數，符合題意；
當p=2時，f（x）=x

3

2

，不是偶函數，不符合題意．
故p=1，對應的函數為f（x）=x²．

點評：本題主要考查冪函數的奇偶性和單調性，關鍵是抓住在第一象限內的圖象和性質，相關的第二象限、第三象限可由奇偶性來推之．