Question

已知直線l：y=x+2，與拋物線x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（x_C，0）．
（1）求證：

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)（如圖1所示），嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)

1

xA

+

1

xB

與

1

xC

的結(jié)果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明嗎？

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線可得A，B的橫坐標(biāo)，利用條件驗(yàn)證即可得到結(jié)論；
（2）利用定積分知識(shí)可求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）設(shè)出直線的一般式與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．

解答：（1）證明：由

y=x+2 x2=y

，解得

x=-1 y=1

，

x=2 y=4

…（2分）
不妨設(shè)x_A=-1，x_B=2，
對(duì)于直線l，令y=0，得x_C=-2…（3分）
左邊=

1

xA

+

1

xB

=-1+

1

2

=-

1

2

，右邊=

1

xC

=-

1

2

，
左邊=右邊，原命題得證…（4分）
（2）解：S=

∫

2 -1

(x+2-x2)dx=

x2

2

+2x-

x3

3

|

2 -1

=(2+4-

8

3

)-(

1

2

-2+

1

3

)=

9

2

…（7分）
（3）解：結(jié)論：已知直線l：y=kx+b，與拋物線x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（x_C，0），則

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

…（9分）
證明：

y=kx+b x2=y

，x²-kx-b=0，x_A+x_B=k，x_Ax_B=-b…（11分）
對(duì)于直線l，令y=0，得xC=-

b

k

…（12分）
左邊=

1

xA

+

1

xB

=

xA+xB

xAxB

=

k

-b

=-

k

b

，右邊=

1

xC

=

1

- b k

=-

k

b

，
左邊=右邊，原命題得證…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查定積分知識(shí)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的探究能力，屬于中檔題．