Question

（文）已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，且a₁=1．
（1）求數(shù)列和{b_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a_n+a_n+1=2ⁿ，法一：觀察發(fā)現(xiàn)，由此方程可以得出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列，由此數(shù)列的性質(zhì)求出它的通項(xiàng)，再求出a_n，
法二：a_n+a_n+1=2ⁿ，兩邊同除以（-1）ⁿ⁺¹，得，令，則c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．得到新數(shù)列的遞推公式，再由累加法求出c_n，即可求出a_n，
（2）由（1）的結(jié)論，先求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，代入b_n-λS_n＞0，此不等式對(duì)任意n∈N^*都成立，可用分離常數(shù)法的技巧，將不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183920618805253/SYS201310241839206188052024_DA/5.png">對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，求出的最小值即可得到參數(shù)的取值范圍，若此范圍是空集則說(shuō)明不存在，否則，存在
解答：解：（1）∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩根，
∴
求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，給出如下二種解法：
解法1：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列．
∴，即．
解法2：由a_n+a_n+1=2ⁿ，兩邊同除以（-1）ⁿ⁺¹，得，
令，則c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．
故c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=-1-（-2）-（-2）²-（-2）³-…-（-2）^n-1==（n≥2）．
且也適合上式，∴=，即．
∴b_n=a_na_n+1=×=
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n==．
要使b_n-λS_n＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，
即（*）對(duì)任意n∈N^*都成立．
1當(dāng)n2為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得34，
即，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立．
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值1．
∴λ＜1．
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得，
即，
∵2ⁿ-1＞0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立．
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最小值．
∴λ＜．
綜上所述，存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，λ的取值范圍是（-∞，1）．
點(diǎn)評(píng)：本是考查數(shù)列與不等式的綜合，此類題一般難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項(xiàng)求和的技巧，本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法，對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨(dú)立出來(lái)，通過(guò)求關(guān)于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，方程的思想，構(gòu)造法的技巧，綜合性強(qiáng)，技巧性強(qiáng)，題后應(yīng)注意總結(jié)本題解法上的規(guī)律