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已知函數f（x）=x3-3ax+2（其中a為常數）有極大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）過原點的切線與函數g（x）=b-lnx的圖象有兩個交點，試求b的取值范圍．
分析：（Ⅰ）用導數求出函數的極大值點，根據極大值為18列出方程即可解得．
（Ⅱ）求出切線方程，利用數形結合思想把圖象的交點個數轉化為函數最值問題解決．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2-3a，又函數f（x）有極大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-
a
或x＞
a
，
∴f（x）在（-∞，-
a
），（
a
，+∞）上遞增，在（-
a
，
a
）上遞減，
∴f（x）極大值=f（-
a
）=18，解得a=4．
（Ⅱ）設切點（x0，x03-12x0+2），則切線斜率k=f′（x0）=3x02-12，
所以切線方程為y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x0），
將原點坐標代入得x0=1，所以k=-9．
切線方程為y=-9x．
由
y=-9x
y=b-lnx
得lnx-9x-b=0．
設h（x）=lnx-9x-b，
則令h′（x）=
1
x
-9=
1-9x
x
＞0，得0＜x＜
1
9
，
所以h（x）在（0，
1
9
）上遞增，在（
1
9
，+∞）上遞減，
所以h（x）最大值=h（
1
9
）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有兩個解，則h（x）最大值＞0，
得b＜-ln9-1．
點評：本題考查了利用導數研究函數的極值、最值問題，考查了用所學知識解決問題的能力，注意數形結合思想在本題中的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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